| |
Леонардо из Пизы, известный как Фибоначчи, был первым из великих математиков Европы позднего Средневековья. Будучи рожденным в Пизе в богатой купеческой семье, он пришел в математику благодаря сугубо практической потребности установить деловые контакты. В молодости Леонардо много путешествовал, сопровождая отца в деловых поездках. Например, мы знаем о его длительном пребывании в Византии и на Сицилии. Во время таких поездок он много общался с местными учеными.
В 1900 году в Париже прошла Всемирная конференция математиков, на которой Давид Гильберт (David Hilbert, 1862–1943) изложил в виде тезисов сформулированные им 23 наиважнейшие, по его мнению, задачи, которые предстояло решить ученым-теоретикам наступающего ХХ века. Под вторым номером в его списке значилась одна из тех простых задач, ответ на которые кажется очевидным, пока не копнешь немножечко глубже. Говоря современным языком, это был вопрос: самодостаточна ли математика? Вторая задача Гильберта сводилась к необходимости строго доказать, что система аксиом — базовых утверждений, принимаемых в математике за основу без доказательств, — совершенна и полна, то есть позволяет математически описать всё сущее. Надо было доказать, что можно задать такую систему аксиом, что они будут, во-первых, взаимно непротиворечивы, а во-вторых, из них можно вывести заключение относительно истинности или ложности любого утверждения.
Изучение сложности — одно из важнейших направлений современной науки. Сложная система определяется как система, имеющая много независимых элементов, каждый из которых может взаимодействовать с остальными. Например, куча песка может рассматриваться как сложная система, поскольку нажатие на одну песчинку увеличивает силы давления на все другие песчинки в куче, а эти песчинки, в свою очередь, отвечают на это легкой деформацией, вызывающей силы противодействия. Фондовая биржа — другой пример сложной системы, где покупатели и продавцы меняют свое поведение при изменении поведения других покупателей и продавцов. Такая система, как фондовая биржа, где поведение элементов меняется в результате действий других элементов, называется сложной адаптивной, или самоприспосабливающейся, системой.
Самые простые математические утверждения иногда бывает сложнее всего доказать. Так, Великая теорема Ферма была окончательно доказана лишь в конце XX века — через несколько сот лет после того, как была сформулирована. Существует еще одно утверждение, чем-то похожее на теорему Ферма, которое математики не смогли доказать до сих пор. Его называют проблемой Гольдбаха, и формулировка этого утверждения предельно проста. В нем всего лишь говорится, что каждое четное число больше 2 можно представить как сумму двух простых чисел. (Поясним: простое число — это число, которое делится только на 1 и на себя само. Так, 2, 3, 5, 7 — простые числа, а 4 (2 х 2), 6 (3 х 2), 9 (3 х 3) — нет.) Впервые это утверждение выдвинул Христиан Гольдбах в 1742 году. Из него следует, что 10 (возьмем пример попроще), как четное число, можно записать в виде суммы 7 + 3, где 7 и 3 — простые числа. Другая формулировка утверждения Гольдбаха, немного менее известная, — что любое нечетное число, большее или равное 9, можно представить в виде суммы трех простых чисел (например, 13 = 7 + 3 + 3 = 5 + 5 + 3).
Зенон Элейский принадлежал к той греческой философской школе, которая учила, что любое изменение в мире иллюзорно, а бытие едино и неизменно. Его парадокс (сформулированный в виде четырех апорий (от греч. aporia «безвыходность»), породивших с тех пор еще примерно сорок различных вариантов) показывает, что движение, образец «видимого» изменения, логически невозможно.
Большинству современных читателей парадокс Зенона знаком именно в приведенной выше формулировке (ее иногда называют дихотомией — от греч. dichotomia «разделение надвое»). Чтобы пересечь комнату, сначала нужно преодолеть половину пути. Но затем нужно преодолеть половину того, что осталось, затем половину того, что осталось после этого, и так далее. Это деление пополам будет продолжаться до бесконечности, из чего делается вывод, что вам никогда не удастся пересечь комнату.
Проводя научный эксперимент, мы анализируем полученную информацию, чтобы иметь возможность выбирать между гипотезами. К примеру, если вы полагаете, что природа должна вести себя в данной ситуации таким-то образом, и проводите эксперимент, чтобы это доказать или опровергнуть, вы ведь хотите иметь возможность заявить, что экспериментальные данные подтверждают вашу гипотезу, а не чью-либо еще. Иными словами, мы ожидаем, что данные докажут ту, а не иную зависимость результатов эксперимента от переменных. В большинстве случаев не существует единственного «чистого» эксперимента, так что нам приходится многократно повторять измерения, чтобы получить гарантию достоверности результата. Поэтому мы часто нуждаемся в статистическом анализе полученной информации. Часто оказывается, что результат зависит от множества факторов. В этом случае нам необходимо отделить главные из них от второстепенных — зерно от шелухи.
В 1960-е годы, в самом начале информационной революции, Гордон Мур, впоследствии один из основателей корпорации Intel, обратил внимание на интересную закономерность в развитии компьютеров. Он заметил, что объем компьютерной памяти удваивается примерно каждые два года. Эта закономерность стала своего рода эмпирическим правилом в компьютерной промышленности, и вскоре оказалось, что не только память, но и каждый показатель производительности компьютера — размер микросхем, скорость процессора и т. д. — подчиняется этому правилу.
Принцип детерминизма — один из наиболее важных в современной науке. Он гласит: если мы знаем текущее состояние какой-либо системы в природе, мы можем применить наше знание законов природы для предсказания будущего поведения этой системы. Классическая ньютоновская «механическая» вселенная — в которой положение планет походило на движение стрелок многострелочных часов, а наше знание законов природы сводилось к пониманию устройства часового механизма — это наглядное представлением данной концепции.
Вы, наверное, помните со школьных времен теорему Пифагора: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Возможно, вы помните и классический прямоугольный треугольник со сторонами, длины которых соотносятся как 3 : 4 : 5. Для него теорема Пифагора выглядит так:
3n + 4n = 5n
Жозеф Фурье очень хотел описать в математических терминах, как тепло проходит сквозь твердые предметы (см. Теплообмен). Возможно, его интерес к теплу вспыхнул, когда он находился в Северной Африке: Фурье сопровождал Наполеона во французской экспедиции в Египет и прожил там некоторое время. Чтобы достичь своей цели, Фурье должен был разработать новые математические методы. Результаты его исследований были опубликованы в 1822 году в работе «Аналитическая теория тепла» (Theorie analytique de la chaleur), где он рассказал, как анализировать сложные физические проблемы путем разложения их на ряд более простых.
|
|
|
